Cos'è derivata del rapporto?

La Derivata del Rapporto

La derivata del rapporto (o regola del quoziente) è una regola di derivazione utilizzata per trovare la derivata di una funzione che è espressa come il rapporto di due funzioni differenziabili.

Se abbiamo una funzione f(x) definita come:

f(x) = g(x) / h(x)

dove g(x) e h(x) sono funzioni differenziabili e h(x) ≠ 0, allora la derivata di f(x) rispetto a x, denotata come f'(x), è data da:

f'(x) = [g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)] / [h(x)]^2

In parole, la derivata del rapporto è uguale a:

(Derivata del numeratore * Denominatore - Numeratore * Derivata del denominatore) / (Denominatore al quadrato)

Formula compatta:

(u/v)' = (u'v - uv') / v^2

Dove:

• u = g(x) (il numeratore)
• v = h(x) (il denominatore)
• u' = g'(x) (la derivata del numeratore)
• v' = h'(x) (la derivata del denominatore)

Esempio:

Trova la derivata di f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1)

• g(x) = x^2 + 1
• h(x) = x - 1
• g'(x) = 2x
• h'(x) = 1

Applicando la formula del quoziente:

f'(x) = [(2x * (x - 1) - (x^2 + 1) * 1)] / (x - 1)^2 f'(x) = (2x^2 - 2x - x^2 - 1) / (x - 1)^2 f'(x) = (x^2 - 2x - 1) / (x - 1)^2

Punti chiave:

• La derivata del rapporto è essenziale per calcolare le derivate di funzioni frazionarie.
• L'ordine dei termini nel numeratore è importante. La derivata del numeratore *il denominatore viene sottratta dal numeratore *la derivata del denominatore.
• Ricordare di quadrare il denominatore nella formula.
• Per capire meglio i concetti di base, puoi consultare la pagina su Derivata e Funzioni%20Differenziabili.